Пустой день в расписании: вероятность при случайном распределении дел

Как дела распределяются по дням

Представим неделю из семи дней и пять небольших дел: полить растения, забрать посылку, позвонить родственнику, купить продукты и отнести книгу в библиотеку. Чтобы упростить задачу, предположим, что каждое дело независимо и с одинаковой вероятностью назначается на любой из семи дней. Тогда возникает вопрос: может ли в таком расписании остаться день совсем без дел — и насколько это вероятно?

Это модель случайного распределения объектов по ячейкам: дела выступают объектами, а дни недели — ячейками. Подобные модели помогают разбирать не только расписания. Так можно рассуждать о том, как посетители распределяются по залам, как вопросы попадают в главы учебника или как сообщения приходят в разные временные интервалы. Важна не бытовая реалистичность каждого предположения, а ясность модели: она показывает, какие следствия вытекают из заданных правил.

В нашем примере есть семь возможных мест и пять назначений. Число назначений меньше числа дней, но из этого ещё не следует, что каждый день получит дело. Несколько дел могут попасть на одну дату, оставив другие свободными. Интуитивное ожидание «пять дел займут пять дней» незаметно подменяет случайное распределение аккуратной раскладкой по одному делу на день.

Вероятность для одного дня

Начнём с вопроса проще: какова вероятность, что понедельник останется пустым? Для каждого из пяти дел вероятность не попасть на понедельник равна 6/7: подходят остальные шесть дней. Если назначения независимы, вероятность того, что все пять дел окажутся где угодно, кроме понедельника, равна (6/7)⁵, то есть примерно 0,46.

Это не означает, что почти половина недель обязательно будет иметь пустой понедельник в некотором особом смысле. Речь только об одном заранее выбранном дне. Если вместо понедельника заранее выбрать среду, расчёт будет тем же: модель симметрична по дням. Но событие «понедельник пуст» и событие «среда пуст» могут произойти одновременно. Например, все пять дел могут собраться в пятницу.

Именно здесь легко ошибиться: вероятность пустоты одного дня — не то же самое, что вероятность наличия хотя бы одного пустого дня. Для второго вопроса нужно учитывать, что пустыми могут быть сразу несколько дней. Нельзя просто считать, будто семь дней дают семь непересекающихся способов получить пустое место: одни и те же расписания окажутся учтены несколько раз.

Сколько пустых дней ожидать

Есть удобный способ оценить среднее число пустых дней. Для каждого дня вводится индикатор: он равен единице, если день пуст, и нулю, если в нём есть хотя бы одно дело. Складывая такие индикаторы для всей недели, получаем общее число свободных от дел дней.

Среднее значение этой суммы равно сумме средних значений индикаторов. Каждый из семи дней пуст с вероятностью (6/7)⁵, поэтому ожидаемое число пустых дней составляет 7 × (6/7)⁵, или примерно 3,2. Это математическое ожидание: если повторять такую случайную процедуру много раз, среднее число пустых дней будет приближаться к этому значению.

Число 3,2 не описывает отдельную неделю. В конкретном расписании не бывает доли пустого дня: их может быть ноль, один, два или больше. Среднее — характеристика множества возможных расписаний, а не предсказание для каждого из них. Кроме того, такой расчёт не сообщает вероятность того, что пустым окажется хотя бы один день. Он отвечает на другой вопрос: сколько пустых дней в среднем приходится на одно случайное распределение.

Как посчитать вероятность хотя бы одного пустого дня

Удобнее рассмотреть противоположное событие: ни один день не пуст. При пяти делах это возможно только тогда, когда пять назначений попадут в пять разных дней. Для первого дела доступен любой из семи дней; для второго, чтобы не повториться, остаётся шесть; для третьего — пять, затем четыре и три. Всего существует 7⁵ равновероятных последовательностей назначений, а благоприятных последовательностей для заполнения пяти разных дней — 7 × 6 × 5 × 4 × 3.

Поэтому вероятность того, что пустых дней не будет, равна (7 × 6 × 5 × 4 × 3) / 7⁵ = 2520 / 16807 ≈ 0,15. Значит, вероятность хотя бы одного пустого дня составляет 1 − 2520 / 16807 ≈ 0,85. Высокое значение объясняется тем, что дел всего пять, а дней семь; повторное попадание в один день оставляет ещё больше календарных ячеек свободными.

Такой расчёт отличается от простого умножения вероятности пустоты одного дня на число дней. Сумма 7 × (6/7)⁵ учитывает ожидаемое количество пустых дней, но для вероятности «хотя бы один» нужно отдельно рассмотреть противоположное событие — отсутствие пустых дней. Это разные вопросы, хотя оба связаны с одной и той же моделью.

Что меняется в настоящем расписании

Бытовые дела редко назначаются по описанному правилу. Покупки обычно планируют на день похода в магазин, звонок зависит от свободного времени собеседника, а часть задач имеет срок. Одно назначение может повлиять на другое: после поездки за посылкой удобно зайти в библиотеку. В таких случаях предположения о равной вероятности и независимости не выполняются, и численный результат модели не следует воспринимать как прогноз реальной недели.

Зато модель полезна как точная демонстрация эффекта «скопления»: случайное распределение не обязано равномерно заполнять доступные места. Даже когда у всех дней одинаковый статус, совпадения возможны, а значит, свободные дни тоже. Чтобы применить расчёт к реальной ситуации, сначала пришлось бы определить правила назначения: какие дни доступны, какие дела связаны и насколько вероятен каждый вариант. Теория вероятностей здесь не угадывает расписание — она показывает, как выбранные предположения превращаются в вывод.